Anthyphérès et formes de rectangles

Ce texte vient en complément de certains commentaires au texte Autoportrait de racine de 2 de Michèle Audin disponible sur http://images.math.cnrs.fr/Autoportrait-de-racine-de-2.html

Formes de rectangles

Fractions et formes de rectangles

Il est possible de voir une fraction comme une forme de rectangle. Ainsi 2/3 peut désigner le rectangle suivant de largeur 2 et de longueur 3.

On peut dire que deux rectangles ont la même forme lorsque leurs diagonales ont la même direction. Ainsi les trois rectangles 2/3, 4/6 et 6/9 sont dits avoir la même forme :

et l’on écrira que 2/3 = 4/6 = 6/9. Plus généralement a/b = (na)/(nb).

On remarque que la symétrie suivant la diagonale 1/1 transforme 2/3 en 3/2. Plus généralement, transforme a/b en b/a.

Anthyphérèse et formes de rectangles

Étant donné le rectangle 2/3, on peut le découper en carrés maximaux (le premier de coté la largeur du rectangle). C'est-à-dire commencer à remplir le rectangle 2/3 par des carrés de coté 2. Il en rentre un (1) et il reste un rectangle 2/1. On le remplit à son tours de carrés de coté 1. Il en rentre deux (2). Et le rectangle est complètement découpé.

           

On appel cet algorithme anthyphérèse, anthyphairesis ou soustractions réciproques, et la succession du nombre de carré de chaque découpe, le logos du rectangle 2/3, soit ici : 1 2.

Les logos de deux rectangles de même forme sont identiques. Si deux rectangles ont le même logos, alors ils sont de même forme1

L'algorithme prend toujours fin en un nombre fini d'étapes dans le cas d'un rectangle de cotés entiers (une fraction rationelle)2.

L'algorithme peut ne jamais avoir de fin comme dans le cas de la forme du rectangle d’or (de largeur 1 et de longueur le nombre d’or, ou de largeur et longueur, le coté et la diagonale d'un pentagone régulier) dont le logos est constitué d’une succession infinie de 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1…3 (qui ne peut donc pas s'écrire comme un nombre rationel a/b avec a et b entiers4).

Fraction continues

Les fractions continues sont la notion moderne la plus proche de l’anthyphérèse. On trouve ainsi que :

  • $2/3 = \frac{1}{\bf{1}+ \frac{1}{\bf{2}}}$ et on reconnait dans la succession des chiffres en gras, le logos 1 2
  • le nombre d’or peut s'écrire  $\frac{1}{\bf{1}+\frac{1}{\bf{1}+\frac{1}{\bf{1}+\cdots }}}$ et on reconnait dans la succession des 1 en gras, le logos 1 1 1 1 1 …
  • $\sqrt{2} = \bf{1} + \frac{\bf{1}}{\bf{2} + \frac{1}{\bf{2} + \frac{1}{\bf{2} + \cdots}}}}$ et on reconnait dans la succession des chiffres en gras, le logos 1 2 2 2 2 …