Annexes (Morphisme d'intégration et Microsupport de faisceaux)

Dualité de Poincaré

Si $M$ est une varété réelle de dimension $n$, pour tout $p \in \mathbb{N}$, on a l'isomorphisme $$ H_p(M;\mathbb{C} _M) \simeq H_c^{n-p}(M; \mathbb{C} _M {\displaystyle\mathop{\otimes}_\mathbb{Z} } \mbox{or} _M) $$ où $\mbox{or} _M$ est le faisceau d'orientation de $M$.

Morphisme résidu

Soient $X$ et $Y$ deux variétés complexes de dimensions (complexes) respectives $d_X$ et $d_Y$, $f : Y \rightarrow X$ un morphisme. On pose $d=d_Y - d_X$. $f$ induit dans la catégorie dérivée ${\sf D}^+(\mathbb{C} _X)$ le morphisme~: $$ Rf_!\Omega _Y[d_Y] \rightarrow \Omega _X[d_X] $$ En effet, soient $p$ et $q$ deux entiers, le morphisme $$f^{-1}{\cal C}^{\infty,(d_Y-p,d_Y-q)}_X \rightarrow {\cal C}^{\infty,(d_Y-p,d_Y-q)}_Y$$ où ${\cal C}^{\infty,(p,q)}_X$ est le faisceau des $(p,q)$-formes sur $X$ (utilisé dans le complexe de Dolbeault), défini par dualité le morphisme $f_!{\cal D}b^{(p,q)}_Y \rightarrow {\cal D}b^{(p-d,q-d)}_X$ puisque les variétés $X$ et $Y$ sont supposées orientées par le choix de $\sqrt{-1}$. Le morphisme cherché provient alors des résolutions de Dolbeault de $\Omega _Y$ et $\Omega _X$ par ${\cal D}b^{(d_Y,i)}_Y$ et ${\cal D} b^{(d_X,j)}_Y$, $i$ variant de $0$ à $d_Y$ et $j$ variant de $0$ à $d_X$.