Mohammed Benchaou - Thèse soutenue in absentia le 27 juin 1997

Thèse Estimations exponentielles en théorie de la diffusion de Mohammed Benchaou soutenue in absentia le vendredi 27 juin 1997.

Mohammed Benchaou est décédé le 5 décembre 1996 des suites de ses blessures survenues le 3 décembre 1996 à Paris lors de l’attentat du RER B à Port-Royal qui faisant quatre morts et 91 blessés.

Résumé : 
Dans ce travail, on s'intéresse à la théorie de la diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel $2\times 2$ dépendant du temps, du type:

$ P=\bigl (\sqrt {1-h^2\Delta _x }\, \bigr ) {\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x)$

sur $L^2({ \mathbb R}^n)\oplus L^2({ \mathbb R}^n)$, où V(t,x) est une matrice diagonale réelle dont les valeurs propres ne sont jamais égales lorsque (t,x) décrit ${ \mathbb R}^{n+1}$. On suppose également que V et R se prolongent holomorphiquement dans une bande complexe autour de ${ \mathbb R}^{n+1}\!$, et vérifient certaines propriétés de décroissance à l'infini. Si l'on note $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ l'opérateur de diffusion associé à P, on montre alors que ses éléments antidiagonaux S1,2 et S2,1 ont une norme exponentiellement petite lorsque h tend vers 0+. Plus précisément, on obtient une estimation du type ${\mathcal O} (\mathrm {e}^{-\Sigma /h})$, où $\Sigma \gt$ est une constante explicitement reliée au comportement de V(t,x) dans le complexe.

Mots clefs : diffusion, semi-classique, décroissance exponentielle

Abstract: 
Scattering estimates for a time dependent matricial Klein-Gordon operator 
In this paper, we study the scattering theory for a time dependent $2\times 2$" matricial Klein-Gordon operator, of the type:

$ P=(\sqrt {1-h^2\Delta _x }){\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x) $

on "$L^2({ \mathbb R}^n)\oplus L^2({ \mathbb R}^n)$, where V(t,x) is a real diagonal matrix, the eigenvalues of which are never equals when (t,x) varies in ${ \mathbb R}^{n+1}$. One also assumes that V and R extend holomorphically in a complex strip around ${ \mathbb R}^{n+1}$, and satisfy to some decay properties at infinity. Then, denoting $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ the scattering operator associated to P, we show that its off-diagonal coefficients S1,2 and S2,1 have an exponentially small norm as h tends to 0+. More precisely, we obtain an estimate of the type ${\mathcal O} (\mathrm {e}^{-\Sigma /h})$, where $\Sigma \gt$ is a constant which is explicitly related to the behaviour of V(t,x) in the complex domain.

Class. math. : 35 P 25, 35 P 99, 81 U 05

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